Control del pH

Los sistemas de control del pH se caracterizan por su gran capacidad de ajuste y sensibilidad, y también están sujetos a dificultades derivadas del contacto entre los electrodos de medición y los fluidos hostiles. Los casos prácticos de instalaciones representativas muestran que el éxito en la implementación de estos controladores de pH no solo depende de la evaluación de la complejidad del bucle y la selección de una estrategia de control, sino también del reconocimiento y la evitación de dificultades

durante la especificación e instalación de la instrumentación, los equipos y las tuberías. He ayudado a rescatar más de 50 sistemas de control de pH en dificultades en los últimos 5 años y sigo siendo lo

suficientemente racional como para

contárselo. La mayoría de la gente apenas se da cuenta de que me estremezco cuando se menciona la concentración de iones de hidrógeno. ¿Por qué es un problema el control del pH? ¿Por qué es un problema el control del pH? Después de todo, se dispone de una escala de medición extraña pero sencilla,

de 0 a 14

unidades adimensionales, electrodos de medición que llevan tanto tiempo en uso que se conocen bien y se aplican fácilmente, y proveedores de instrumentos que a estas alturas deben de haber visto todas las aplicaciones posibles. El mundo real Hay otras muchas limitaciones que se suman a las dificultades del control del pH. Estas van desde la necesidad de humedecer los electrodos, con la consiguiente susceptibilidad a las fugas y al ataque del fluido,

hasta los largos retrasos que se producen por la necesidad de mezclar grandes volúmenes de material de proceso con pequeñas cantidades de reactivo. Incluso con un buen conocimiento de los conceptos de medición y control, estos efectos del mundo real introducen un elemento de misterio mágico

en el pH. ¿Por qué es un problema el control del pH?

Después de todo, se
dispone de una escala de medición extraña pero sencilla, de 0 a 14 unidades adimensionales, electrodos de medición que llevan en el mercado el tiempo suficiente como para ser bien conocidos

y fácilmente

aplicables, y
proveedores de instrumentos que a estas alturas deben de haber visto todas las aplicaciones posibles. Elija el manómetro adecuado para su aplicación Controlador de pH Su

pequeño tamaño

permite una instalación

reactivos o para establecer puntos de ajuste de control del caudal de reactivos Los retardos en el transporte a los electrodos de pH en las carcasas de análisis superarán los plazos de mezcla, de modo que la mayor comodidad en la comprobación de los electrodos se ve compensada por la menor comodidad en la comprobación de los registros de tendencias. Siempre que sea posible, se deben preferir los electrodos de inyección a los conjuntos de soportes de muestras para reducir los problemas de mantenimiento y mejorar los tiempos

de respuesta, pero no todos los electrodos de inyección son iguales. Los depósitos grandes están bien si no hay que controlarlos; utilice el volumen aguas arriba para reducir el consumo de reactivos o aguas abajo para reducir el error de control. Si no puede decidir donde utilizar uno, colóquelo aguas abajo. Instale uno o tres electrodos de pH, pero nunca dos, para la medición de pH. Una fuente básica de dificultad es que, como señalan innumerables artículos, documentos técnicos y libros de texto, la escala de pH corresponde a concentraciones de iones de hidrógeno de 100 a 10-14 moles por litro. Ninguna otra medición común cubre un rango tan amplio.

Otra limitación intrínseca es que los electrodos de medición pueden responder a cambios tan pequeños como 0,001 pH, por lo que los instrumentos pueden realizar el seguimiento de cambios en la concentración de iones de hidrógeno tan pequeños como 5x10-10 moles por litro a 7 pH. Ninguna otra medición común tiene una sensibilidad tan grande. Las implicaciones de tal rango y sensibilidad pueden ilustrarse considerando un sistema de neutralización de retroalimentación continua para un ácido fuerte y una base fuerte. El flujo de reactivo debe ser esencialmente proporcional a la diferencia entre

la concentración de iones de hidrógeno del fluido de proceso y el punto de ajuste. Por lo tanto, una válvula de control de reactivos debe tener una capacidad de variación superior a 10 000 000:1 para un punto de consigna de pH 7 al fluctuar

la corriente entrante entre 0 y

7 pH. Además, las incertidumbres en la carrera de la válvula de control se traducen directamente en errores de pH, de modo que una histéresis de solo 0,00005 % puede causar una desviación de 1 pH para un punto de consigna de pH 7. La situación es similar a jugar al golf. La distancia desde el tee hasta el green representa la

capacidad de variación y la relación entre el diámetro del hoyo y esta distancia es análoga a la sensibilidad. Para una aplicación que requiera una base fuerte para neutralizar un ácido fuerte o viceversa, el tee estaría a unos 1 000 000 de yardas del green y el hoyo tendría un diámetro de unas 3,5 pulgadas. Es imposible hacer un hoyo en uno. Y utilizar una válvula de control del mismo tamaño en cada etapa sería como

contratar a un gorila

para que lanzara la bola al verde de un solo golpe y luego descubrir que tiende a sobrepasar el hoyo en el putt. ¿Cómo es posible controlar un proceso en estas condiciones? Las limitaciones de rango y sensibilidad pueden superarse acercándose al punto de consigna por etapas, utilizando válvulas de control sucesivamente más pequeñas con posicionadores de alto rendimiento.

Problemas típicos en el control del pH En realidad, no hay complicaciones típicas en el pH. Y las instalaciones sencillas no se remiten a aquellos de nosotros a los que InTech se refiere como los noodnicks de Ingeniería Central. Pero las instalaciones que describiré son típicas de las que he encontrado recientemente e ilustran los tipos de problemas que se pueden esperar. Para evitar discusiones con nuestro Departamento Jurídico sobre información confidencial, no mencionaré ningún lugar ni nombre; incluso preferiría que olvidaran mi nombre cuando terminen de

leer. Además, para ayudarles a superar mis tribulaciones y las que ustedes mismos encontrarán, he preparado la Tabla I, en la que se enumeran lo que se puede considerar como los hechos de la vida. Memorícen esta tabla; les haré un examen sobre ella por la mañana. ¿Dónde está el tanque? Una aplicación implicaba un flujo de residuos de ácido fuerte, que debía neutralizarse con un reactivo básico fuerte. Se solicitó porque el pH oscilaba entre 0 y 14 a pesar de los esfuerzos por ajustar los

controladores, manipular manualmente el reactivo y regular el flujo de entrada. Cuando llegué a la planta, miré hacia el horizonte y no vi ningún depósito. De repente me di cuenta de que tenía un problema grave. La imagen 1a muestra el sistema de control original. Este utilizaba un controlador de relación para dosificar el reactivo al flujo de residuos ácidos aguas arriba de un mezclador en línea. Se utilizaba un controlador de pH independiente en un bucle en un sumidero. Los diseñadores del sistema no se dieron cuenta de que el error de medición de caudal y la histéresis de la válvula de control

de caudal debían ser inferiores al 0,00005 % para mantenerse dentro de 1 pH del punto de ajuste de 7 pH. Supusieron que las perturbaciones serían pequeñas, ya que el cambio en la composición de los residuos era lento y su flujo estaba fijado por un controlador. El equipo de diseño desconocía el hecho fundamental n.º 1. Un sistema que implica un ácido fuerte y una base fuerte normalmente requiere tres etapas de control para

mantener una solución dentro de 1 pH de 7 pH (Ref. 1). Dado que se hizo hincapié en el Coste como factor, mantuve el mezclador y el sumidero existentes como una etapa y añadí dos depósitos verticales bien mezclados aguas abajo para la segunda y tercera etapas. Además, acordé no

instalar controles en la tercera etapa hasta que se demostrara su necesidad. Por lo tanto, el volumen de la tercera etapa sirvió como filtro para la oscilación de la



segunda etapa. Para la primera etapa de control, comenzamos sustituyendo el sistema de flujo proporcional por un bucle de pH en línea rápido. Este recibía un punto de consigna remoto de un segundo controlador de pH situado en el sumidero. El bucle rápido en línea

iniciaría la corrección y dependería del volumen del sumidero para promediar las desviaciones de la concentración de iones de hidrógeno. El análisis del sistema de control lineal predijo que esta combinación sería tan eficaz como un único tanque vertical bien mezclado. No funcionó. La simulación dinámica mostró que el bucle en línea oscilaría entre 0 y 14 pH para todos los ajustes del controlador. Una prueba en la planta confirmó el resultado. Al principio, pensé que el sumidero no estaba proporcionando el filtrado previsto. Entonces

recordé el hecho de la vida n.º 2. El filtro actuaba sobre la concentración de iones de hidrógeno, no sobre el pH. El sumidero atenuaba las oscilaciones de concentración en un factor de 100, pero esto solo correspondía a

2 pH. La atenuación mejoró al reducir la distancia entre el mezclador y la válvula de control y los electrodos de pH, de modo que la oscilación fue más rápida. El segundo estado tenía un controlador de pH con ganancia de muesca que era una salida que proporcionaba una frecuencia de pulso proporcional a una señal analógica. Por encima del 25 % de la salida del controlador, la válvula se estrangulaba normalmente; por debajo del 25 %, el rango de la válvula era extendido utilizando el control de la frecuencia o el intervalo de los pulsos. Imagen del

reactivo Figura 1. ¿Dónde está el tanque? (a) Sistema de control de pH fallido y (b) sistema de control de pH exitoso para un proceso de neutralización continuo que inicialmente no tenía tanque de mezcla. La imagen 1b muestra la instalación mejorada. Este sistema podía mantener el pH dentro de la banda de desviación deseada en la salida de la tercera etapa. Sin embargo, el controlador del sumidero era difícil de ajustar y la recuperación tras el arranque o el cambio del punto de consigna del controlador de flujo de residuos era lenta. Si tuviera que diseñar este sistema hoy, colocaría un bucle de alimentación directa en el sumidero e instalaría controles en la tercera etapa. También caracterizaría

las señales de

alimentación directa y retroalimentación. La caracterización implicaría calcular la demanda de reactivos a partir de la Medición de pH utilizando la curva de titulación y utilizando el resultado como comando de control. Esto reduciría la no linealidad, el tiempo de recuperación, la sensibilidad y la dificultad de ajuste. Los controladores PID basados en Microprocesadores pueden proporcionar la precisión de cálculo necesaria y facilitar la implementación . Como ocurre con cualquier sistema nuevo, la puesta en marcha no estuvo exenta de errores. Algunos

eran del tipo más común, como cables transpuestos y posicionadores calibrados incorrectamente. Otros eran del tipo mágico y misterioso, propio de los sistemas de pH. Por
ejemplo, a niveles altos de


pH, la medición descendía a medida que aumentaba el flujo de reactivo básico fuerte. Como se puede imaginar, esto nos volvió locos al sistema de control y a nosotros. La dificultad radicaba en que los electrodos de medición del bucle en línea no estaban especificados con vidrio de pH alto. Normalmente, esto provocaría que la medición fuera inferior en aproximadamente 1 pH en el extremo superior

de la escala. En nuestro caso, provocó una respuesta inversa. Este rendimiento fue confirmado por el proveedor y se corrigió sustituyendo los electrodos por dispositivos con bajo error de iones de sodio. Otro efecto misterioso y mágico fue que la respuesta del electrodo para el tanque bien mezclado se volvió errática. Encontramos agua en los terminales dentro del conjunto de inmersión. El proveedor nos dijo que si comprábamos un conjunto que costaba el doble, la fuga se detendría. Lo hicimos, pero no fue así. El proveedor nos dijo entonces que compráramos un conjunto de nuevo desarrollo, por cuatro veces el precio del original, y que la fuga se pararía con seguridad. En lugar de cometer el mismo error tres veces, busqué en otras tiendas y encontré un conjunto de

electrodos desechables completamente encapsulado en plástico, a la mitad del precio del original. Funcionó a las mil maravillas. Una experiencia similar con un conjunto de inmersión de otro proveedor me llevó a la realidad n.º 3. ¿Dónde está la válvula? Otra aplicación requería pequeñas cantidades de un reactivo

viscoso altamente concentrado para la neutralización continua de un flujo de residuos. El sistema de control era tan lento que las perturbaciones atravesaban la planta mucho antes de que cualquier acción correctiva surtiera efecto; además, el registro de la tendencia del pH tenía una banda de ruido que superaba con creces la desviación permitida del punto de ajuste. Al inspeccionar el sistema, me situé cerca del punto de inyección en la entrada del mezclador de la

tubería, escudriñé el horizonte y no vi ninguna válvula de control de reactivos. Rápidamente deduje que tenía un problema grave. Reactivo concentrado Figura 2: ¿Dónde está la válvula? (a) Sistema de control de pH fallido y (b) sistema de control de pH exitoso para un proceso que involucra un reactivo concentrado altamente viscoso. La imagen 2a muestra lo que encontré. ¿Puede detectar un problema de control exclusivo del bucle de pH en esta imagen? El controlador de nivel del sumidero establece el flujo en la rama de salida superior. El controlador de flujo del mezclador

manipula simultáneamente la válvula de la rama inferior para mantener un flujo constante fuera del sumidero. El sistema está claramente sobrecontrolado. Salimos de este lío conectando en cascada la salida del controlador de nivel al punto de consigna del controlador de flujo. Ahora pasemos al bucle de pH. El reactivo se inyectaba en la tubería bajo el control de una bomba dosificadora de desplazamiento positivo. La bomba estaba a unos 300 pies de distancia del mezclador.

Esta distancia provocaba un retardo cuando se activaba la bomba, ya que el fluido del proceso rellenaba la tubería de inyección y tenía que ser expulsado de la línea antes de que se pudiera suministrar cualquier reactivo. No hace falta ser un genio de las matemáticas para calcular que, a un galón por hora, se tarda una hora en empujar un galón a través de un tubo. Esto nos llevó al hecho de la vida n.º 4. También observamos un retardo cuando cambiaba la velocidad de la bomba, pero nunca identificamos realmente la causa. Lo habríamos achacado a bolsas de aire, si las hubiera habido. La respuesta probablemente se encuentre en la botella de ketchup, relacionada

con el bajo flujo de fluidos viscosos. De todos modos, redujimos los retardos y la banda de ruido resultante en un orden de magnitud al sustituir la bomba dosificadora remota por una válvula de control acoplada. La válvula se manipulaba mediante un controlador de relación para proporcional el flujo de reactivo al flujo de descarga del sumidero, corrigiendo la relación con el bucle de pH en línea. Aún quedaba algo de ruido, debido a la mala distribución del reactivo inyectado en la tubería. Esto no se pudo eliminar, ya que requería reducir el tamaño del puerto de inyección para que la velocidad del reactivo fuera mayor. Desgraciadamente, un orificio lo suficientemente pequeño como para realizar esta tarea era demasiado pequeño para evitar que se obstruyera. El ruido era más molesto en el gráfico de tendencias que en el sistema, por lo que se limpió el registro pasando la señal de medición a través de un filtro de electrónica. Pensamos que nuestros problemas habían terminado,

cuando apareció una misteriosa anomalía. Cuando la válvula de reactivo en miniatura se movía de cerrada a abierta, la medición

de caudal de reactivo

aumentaba momentáneamente y luego se reducía a cero. Inmediatamente sospechamos del Caudalímetro magnético, pero resultó estar en perfecto estado; comprobamos los cables y vimos que eran correctos; el proveedor examinó y verificó la integridad de la electrónica; probamos el medidor con agua y observamos que respondía correctamente. Entonces intentamos cambiar el recubrimiento de la válvula, pero varias pruebas dieron los mismos resultados. Estaba a punto de



tirar los diminutos pero costosos recubrimientos, dejar la profesión de ingeniero y entrar en un seminario. Durante este periodo de reflexión, de repente me di cuenta de lo que parecía ser un cono inverso en los recubrimientos. Era difícil asegurarlo, porque las piezas eran pequeñas, pero confirmé la observación con un micrómetro. Desesperado por volver a casa desde esta puesta en marcha, calculé el contorno del tapón para obtener una característica lineal, hice un boceto y mandé mecanizar las piezas. La válvula funcionó bien con el recorte casero. El cono inverso había provocado que el caudal disminuyera a medida que aumentaba la carrera. El aumento momentáneo del flujo al inicio de la carrera se debía a que el

tapón se levantaba del asiento lo suficiente como para proporcionar un pequeño espacio anular. ¿Cómo se produjo el cono inverso en primer lugar? Nunca lo averigüé con certeza,
pero sí supe que los recortes eran demasiado pequeños para ser estándar y que el proveedor los había mecanizado especialmente para el pedido. En mi opinión, eran demasiado especiales. Se puede imaginar lo difícil que habría sido diagnosticar este problema de la válvula si no hubiera habido un medidor de flujo de reactivos. Esto nos lleva al hecho de la vida n.º 5. Más tarde se produjo otro problema de instrumentación, al decidir uno de los ingenieros de diseño modificar el sistema y recuperar algo de espacio en el panel. Instaló un controlador de alimentación directa en lugar de la estación de relación y el controlador de flujo basado en el pH. El dispositivo añadía la señal de alimentación directa de flujo al comando

de flujo del controlador

de pH. El proveedor, ansioso por vender un elemento de alimentación directa, pensó que era una gran idea. Durante el funcionamiento, como habrán adivinado, el controlador de flujo reajustó su salida para cancelar el efecto de la señal de alimentación directa y mantener el flujo en su punto de consigna. Para que funcionara como se esperaba, la acción de alimentación directa tendría que estar en el punto de consigna del controlador de flujo, multiplicado por un no sumado con la salida del controlador de pH. La multiplicación forzará el flujo de reactivo a cero si el flujo del fluido del proceso es cero o si el fluido está en el punto de consigna. Además, para los expertos en control, la multiplicación cancela la

ganancia del bucle de composición, un término inversamente proporcional al flujo del sumidero. Esto nos lleva al hecho de la vida n.º 6. Todas estas correcciones se reflejan

en la imagen 2b anterior. El sistema, tal y como se muestra, ha funcionado bien desde su puesta en marcha. ¿Dónde está el agitador? Un proceso utilizaba un tanque vertical de neutralización. El rendimiento era deficiente porque la

respuesta era lenta y el efluente no se mezclaba de manera uniforme. Miré los planos y observé que la unidad vertical parecía un poco alta para su diámetro. Pregunté qué altura tenía y el diseñador respondió: «50 pies». Yo exclamé: «No está bien burlarse de un viejo ingeniero». Él respondió: «¿Quién se está burlando?». Y añadió: «Usted es el único agitador de este proyecto». Al instante supe que tenía un problema grave. La imagen 3a muestra

cómo se controlaba originalmente el pH. Probablemente, la agitación axial habría corregido las dificultades, pero no era una opción económica porque el depósito era demasiado alto. Un depósito más bajo también habría funcionado, pero de nuevo a un precio más alto del que la planta estaba dispuesta a pagar. Decidí que la mejor manera de lidiar con el tanque sería utilizar su volumen como filtro, estimando que atenuaría las oscilaciones de la concentración de iones de hidrógeno de un bucle en línea en un factor de 10 000 - 4 unidades de pH. Se instaló una bomba de circulación como mezclador en

línea de bajo tiempo de inactividad.

Se añadieron el influente y el reactivo a la nueva succión; se instaló una sonda inyectora en la descarga de la bomba. El nuevo sistema se muestra en la imagen 3b. Reactivo de alimentación FIGURA 3. ¿Dónde está el agitador? (a) Sistema de control de pH fallido y (b) sistema de control de pH exitoso para un proceso que implica un tanque de mezcla extremadamente alto sin agitador Aún se producían alteraciones, debido principalmente a la característica de apertura rápida y a la gran histéresis del posicionador de la válvula de tapón en la entrada. Sin embargo, el bucle de pH en línea volvió rápidamente al punto de ajuste después de una perturbación. Además, después de pasar por el volumen del tanque, el pH trazó la línea más recta que jamás había visto; por un momento, pensamos que alguien había atado el indicador. El

rendimiento fue tan bueno que la planta sugirió que estandarizáramos este tipo de sistema para el control del pH. Les advertí que el punto de consigna de este sistema estaba varias unidades de pH por debajo de la zona neutra, en una posición relativamente plana de la curva de titulación. En una parte empinada de la curva, prevalecería la realidad n.º 2 y habría muchas oscilaciones. ¿Dónde está el electrodo? Me llamaron para solucionar un problema en el sistema de pH que se muestra en la imagen 4a. Esta sencilla configuración debería haber funcionado a la perfección, pero se vio afectada por

una banda de control inaceptablemente amplia acerca del punto de ajuste. Bajé a mirar la boquilla de salida del recipiente y no pude encontrar los electrodos.



Rápidamente deduje que tenía un problema grave. En este caso, El origen del problema era político. El departamento de mantenimiento de instrumentos había especificado que los electrodos se ubicaran en la sala del analizador, para evitar la incomodidad de tener que realizar el mantenimiento en el exterior durante el invierno. Desgraciadamente, esta ubicación introducía un tiempo muerto excesivo en el

bucle. Para ayudar a evitar este problema en otras situaciones, me veo obligado a exponer la Realidad n.º 7. pHIC FIGURA 4. ¿Dónde está el electrodo? (a) Sistema de control de pH fallido y (b) sistema de control de pH exitoso para un proceso en el que los electrodos deben instalarse en lugares inconvenientes. Logré que se trasladaran los electrodos argumentando los graves riesgos para la seguridad y los problemas de calidad del producto que conllevaban las grandes variaciones del pH. El cambio, indicado en la figura 4b, redujo la banda de control a aproximadamente 0,1 pH. Para esta aplicación utilizamos electrodos inyectores. La experiencia demuestra que estos ofrecen un mejor rendimiento y requieren menos mantenimiento que los soportes de electrodos de la cámara de muestras. Estas ventajas son especialmente evidentes cuando los electrodos se montan en la tubería de la boquilla de descarga, donde la velocidad del fluido es alta , ya que el flujo garantiza una respuesta rápida al minimizar el espesor de la capa límite y evita el recubrimiento de los electrodos por impurezas en la corriente. Los electrodos

de inyección también parecen ser menos propensos a las fugas que los elementos de la cámara de muestras. Al comprobar 30 instalaciones de dispositivos de inyección de un fabricante, no encontré ningún caso de fuga; para ser justos, al obtener productos de otra fuente, se produjeron algunas fugas. Sin embargo, todos los soportes de electrodos de cámara de muestra con los que me he encontrado han acabado teniendo fugas.

Además, las fugas son

visibles con los conjuntos de inyectores, pero no con las cámaras de muestra. En el caso de fluidos peligrosos, no se quieren sorpresas al abrir la tapa superior del soporte del electrodo. Esto me lleva al hecho de la vida n.º 8. ¿Es importante el tamaño del tanque? Una planta utilizaba el sistema de la figura 5a para la neutralización de residuos. El eductor que se muestra en la figura se había añadido porque el tiempo de mezcla era demasiado largo. Pero incluso con este dispositivo, el tiempo de inactividad parecía ser superior a 40 minutos. El período natural resultante del bucle de pH era de




160 minutos, por lo que el reinicio máximo debería haber sido inferior a 0,01 repeticiones por minuto. Dado que esto estaba por debajo del ajuste mínimo del controlador, el bucle se encontraba en un ciclo de reinicio continuo; además, el error integrado, que es proporcional al tiempo muerto al cuadrado, era descomunal. Miré el diagrama de flujo de ingeniería y vi el depósito de almacenamiento más grande que había visto nunca. Le pregunté al ingeniero de procesos dónde estaba el depósito de neutralización y me señaló el elefante

que yo pensaba que era para almacenamiento. Inmediatamente comprendí que tenía un problema grave. La finalidad del gran depósito era plausible. Serviría para mezclar los flujos de residuos ácidos y básicos de diferentes fuentes y minimizar la demanda de reactivos. Ahora bien, siempre que no haya que ponerles bucles de control, los depósitos grandes son útiles. Aguas arriba de un bucle de control, un depósito grande puede filtrar las perturbaciones y reducir los requisitos de reactivos; aguas abajo, puede filtrar las oscilaciones del bucle, lo que es especialmente ventajoso porque estas fluctuaciones suelen

ser más rápidas que las variaciones en la concentración de la entrada y, por lo tanto, se atenúan con mayor eficacia. Esto me recuerda al hecho de la vida n.º 9. figura 5 ¿Cuanto más grande, mejor? (a) Sistema de control de pH fallido y (b) sistema de control de pH exitoso para un proceso en el que inicialmente se

empleó un depósito extremadamente grande para la mezcla. El nuevo sistema de control se muestra en la figura 5b. El depósito grande se sustituyó por dos recipientes pequeños en serie. Se instaló un controlador de frecuencia de impulsos para evitar el atasco de las válvulas con caudales bajos de reactivos y para cumplir los requisitos

extremos de

rango impuestos por las amplias variaciones en el caudal de entrada y el pH. Se utilizó la caracterización de la señal para contrarrestar la pronunciada pendiente de la curva de titulación en el punto de ajuste. Los arranques no son divertidos sin un poco de misterio mágico. En este caso,

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